Prezado Aluno,

Vamos criar um livro virtual. Nosso primeiro tema será "Análise Combinatória". O primeiro aluno a se logar irá contribuir com o item 1.1 do sumário da apostila de Fundamentos C, ao fim da sua contribuição, irá se identificar com seu nome, matrícula e referências bibliográficas, o próximo irá continuar a partir do item 1.2 e assim sucessivamente, ok!!!

Bom trabalho!!

Débora Rego

ANÁLISE COMBINATÓRIA

1.1 - INTRODUÇÃO


A Análise Combinatória surgiu da necessidade de calcular o nºde possibilidades existentes nos chamados jogos de azar e que levou os matemáticos a procurar uma melhor maneira de fazer uma contagem. Esses estudos foram iniciados no século XVI pelo matemático italiano Niccollo Fontana(1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal(1623-1662).
A Análise Combinatória está inserida no ensino e aprendizagem da matemática, pois nos permite resolver problemas do cotidiano

A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitem contar no. de elementos agrupados de um conjunto, sob certas circunstâncias. Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três principais tipos de agrupamentos, sendo que podem ser simples, com repetição ou circulares. Vamos procurar aplicar um dos métodos de análise combinatória em um exemplo do nosso dia-a-dia.

Emprego de combinação.
Em um curso de espanhol estudam 20 alunos, sendo 12 rapazes e 8 moças. O professor quer formar uma equipe de quatro alunos para intercambio em outro país.
Quantas equipes de 2 rapazes e duas moças podem ser formadas?
Solução:
Escolha dos rapazes: C12,2 = 12 x 11 : 2 = 66
Escolha das moças: C8,2 = 8 x 7 : 2 = 28
Resposta: 66 x 28 = 1848 equipes
Nome: Jaime Freire de Carvalho
Mat.: 2009000002
Referências: Internet
Livro: Matemática Ciência e Aplicações, Atual Editora, Vol 2 – Iezzi Gelson

1.2 PRÍNCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem.
O princípio fundamental da contagem explica que devemos multiplicar o número de opções entre as escolhas que existem. Ele está diretamente ligado às situações que envolvem as possibilidades de um determinado evento ocorrer. Por exemplo, os modos distintos que podemos organizar as pessoas em uma fila, o número de placas de automóveis que podemos formar com letras e algarismos, as possíveis combinações da Mega Sena, entre outras situações. O princípio fundamental da contagem é a estrutura básica da Análise Combinatória, através dele desenvolvemos técnicas e métodos de contagem na resolução direta de problemas.
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de forma que as possibilidades da primeira etapa é m, e as possibilidades da segunda etapa é n, então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m * n.

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:
- Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
- Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?
- Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos.
- Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

Princípio aditivo:
Se um evento pode ocorrer por m ou n maneiras distintas e independentes entre si, para ocorrer esse evento existem m + n possibilidades.
Ex.: Para realizar viagens entre Maceió (AL) e Recife (PE), dispõe-se de 3 companhias diferentes de aviação e 5 empresas de ônibus. Se alguém quiser realizar essa viagem de ônibus ou de avião dispõe de quantas possibilidades?

- Companhias de avião x , y e z.
- Empresas de ônibus A, B, C, D e E
Possibilidades (3 + 5 = 8)

Princípio multiplicativo:
Se um evento pode ser dividido em duas etapas, em que para realizar a 1ª etapa existem m maneiras e para realizar a 2ª etapa, n maneiras, então para ocorrência desse evento existem m * n possibilidades.
Ex.: Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
6 . 6 . 6 = 216 números
Ex.: Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
6 . 5 . 4 = 120 números

Josimar Baptista Mattos
matrícula: 2008000445

Referências
sites:
www.alunosonline.com.br/matematica
www.algosobre.com.br/matematica
www.brasilescola.com/matematica
www.infoescola.com/matematica
documento:
Análise Combinatória (Professor: João Araújo Neto)
disponível em marista.edu.br/maceio/files/2009/02/mat_anacomb_2.pdf



1.3 FATORIAL
Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.
Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.
5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.
Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

Escrevendo um fatorial a partir de um outro fatorial menor

Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!:
  1. 5! = 5 . 4!
  2. 5! = 5 . 4 . 3!
  3. 5! = 5 . 4 . 3 . 2!

Para um fatorial genérico temos:
n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
Observe atentamente os exemplos seguintes:
  1. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
  2. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
  3. (n + 1)! = (n + 1) . n!

Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais clara destas sentenças:
  1. 9! = 9 . 8!
  2. 9! = 9 . 8 . 7!
  3. 7! = 7 . 6!

Gerando uma sequência de números compostos consecutivos a partir de um fatorial


Sabendo que se a um número que é múltiplo de n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, iremos obter como resultado um número que também é múltiplo de n.
3! + 2 = 3 . 2 . 1 + 2 = 6 + 2 = 8

3! + 3 = 3 . 2 . 1 + 3 = 6 + 3 = 9

Repare que 8, resultado da soma de 6 com 2, é divisível por 2, assim como 6. O mesmo ocorrendo com 9, resultado da soma de 6 com 3, que também é divisível por 3.

Como 8 e 9 são múltiplos de algum fator de 3!, temos que eles formam uma sequência de dois números compostos (não primos) consecutivos a partir do fatorial de três.
3! possui três fatores, mas só podemos considerar os fatores maiores que 1, por isto só pudemos somar dois e três. Note neste exemplo, que se somássemos 3! + 1, iríamos obter 7, que não é um número composto. Sete é um número primo.

Exemplos de problemas envolvendo fatoriais

Qual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)! = 20 . n! seja verdadeira?
O primeiro passo na resolução deste problema consiste em escrevermos (n + 2)! em função de n!, em busca de uma equação que não mais contenha fatoriais:
(n + 2)! = 20. n! → (n+2) . (n+1) . n! = 20 . n! → (n+2) . (n+1) = 20 → n² + 3n – 18 = 0

Com o calculo rapido da equação de segundo grau podemos resolver rapidamente esta equação respondendo à seguinte pergunta: Quais são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo produto é igual -18?
Rapidamente concluímos que as raízes procuradas são -6 e 3, mas como não existe fatorial de números negativos, já que eles não pertencem ao conjunto dos números naturais, ficamos apenas com a raiz igual a 3.
Portanto:
O valor numérico de n para que a equação seja verdadeira é igual a 3.

Nayara Silva Marques
matricula: 2008000386
periodo: 6°




http://www.infoescola.com/matematica/fatorial